快速幂总结

快速幂这个东西比较好理解，但实现起来到不老好办，记了几次老是忘，今天把它系统的总结一下防止忘记。

　　首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

　　假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时

a¹¹=a^{(2^0+2^1+2^3)}

　　11的二进制是1011，

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算

a^{2^0}*a^{2^1}*a^{2^3}，也就是

a¹*a²*a⁸

，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子....不急，下面会有详细解释。

　　由于是

二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具：

&和>>

&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。

>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，不多说了，先放代码再解释。

1 int poww(int a,int b){//求a的b次方 2     int ans=1,base=a; 3     while(b!=0){ 4         if(b&1!=0) 5         　　ans*=base; 6         base*=base; 7         b>>=1; 8　　 } 9     return ans;10 }

　　代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧，其实也很好理解，以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

　　其中要理解base*=base这一步：因为 base*base==base²，下一步再乘，就是base²*base²==base⁴，然后同理 base⁴*base⁴=base⁸，由此可以做到base-->base²-->base⁴-->base⁸-->base¹⁶-->base³².......指数正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a¹*a²*a⁸，这三项就可以完美解决了，快速幂就是这样。

　　顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意选择 long long还是mod某个数自己看着办。

　　矩阵快速幂也是这个道理，下面放一个求斐波那契数列的矩阵快速幂模板

1 #include
       
         2 #include
        
          3 #include
         
           4 #include
          
            5 #include
           
             6 using namespace std; 7 const int mod = 10000; 8 const int maxn = 35; 9 int N;10 struct Matrix {11     int mat[maxn][maxn];12     int x, y;13     Matrix() {14         memset(mat, 0, sizeof(mat));15         for (int i = 1; i <= maxn - 5; i++) mat[i][i] = 1;16     }17 };18 inline void mat_mul(Matrix a, Matrix b, Matrix &c) {19     memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));20     c.x = a.x; c.y = b.y;21     for (int i = 1; i <= c.x; i++) {22         for (int j = 1; j <= c.y; j++) {23             for (int k = 1; k <= a.y; k++) {24                 c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;25                 c.mat[i][j] %= mod;26             }27         }28     }29     return;30 }31 inline void mat_pow(Matrix &a, int z) {32     Matrix ans, base = a;33     ans.x = a.x; ans.y = a.y;34     while (z) {35         if (z & 1 == 1) mat_mul(ans, base, ans);36         mat_mul(base, base, base);37         z >>= 1;38     }39     a = ans;40 }41 int main() {42     while (cin >> N) {43         switch (N){44             case -1: return 0;45             case 0: cout << "0" << endl; continue; 46             case 1: cout << "1" << endl; continue;47             case 2: cout << "1" << endl; continue;48         }49         Matrix A, B;50         A.x = 2; A.y = 2;51         A.mat[1][1] = 1; A.mat[1][2] = 1;52         A.mat[2][1] = 1; A.mat[2][2] = 0;53         B.x = 2; B.y = 1;54         B.mat[1][1] = 1; B.mat[2][1] = 1;55 56         mat_pow(A, N - 1);57         mat_mul(A, B, B);58         cout << B.mat[1][1] << endl;59 60     }61     return 0;62 }